Обо­зна­чим длину сред­ней линии, как m. Пусть AC = 15, BD = 20, m = 12,5.

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния: BH  — вы­со­та тра­пе­ции, из точки C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную диа­го­на­ли BD к про­дол­же­нию сто­ро­ны AD, а точку их пе­ре­се­че­ния обо­зна­чим M. Таким об­ра­зом, BCMD  — па­рал­ле­ло­грамм: BC=DM, BD=CM. За­ме­тим, что

Пло­щадь тра­пе­ции равна:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACM можно найти по фор­му­ле Ге­ро­на: где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ACM, ко­то­рый равен: Тогда по­лу­чим:

Ответ: 150.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH: По­сколь­ку все сто­ро­ны тра­пе­ции, кроме боль­ше­го ос­но­ва­ния равны a, по­лу­чим Тогда

В тре­уголь­ни­ке BDH имеем:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABB₁:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник :

Тогда

Ответ: 10.

По усло­вию по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

Тогда длина сред­ней линии:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т. е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии  — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 34.

Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры со­став­ля­ет 18 см². Таким об­ра­зом, пло­щадь тра­пе­ции равна

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BOC и AOD, они по­доб­ны по двум углам. Имеем:

Пусть BC  =  2x, тогда AD  =  3x. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна Тогда Таким об­ра­зом,

Ответ: 50.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту, для опи­сан­ной тра­пе­ции вы­со­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти, то есть

По свой­ству опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна, то есть сле­до­ва­тель­но, имеем:

Ответ: 46.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, про­ве­дем вы­со­ты BH и CH₁. Гра­дус­ная мера угла BAH равна 60°, тогда гра­дус­ная мера угла ABH равна 30°, гра­дус­ная мера угла HBD равна 60°, а гра­дус­ная мера угла BDA равна 30°. Катет AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABD лежит на­про­тив угла, рав­но­го 30°, сле­до­ва­тель­но, его длина равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы AD, что равно Катет AH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH лежит на­про­тив угла ABH, рав­но­го 30°, сле­до­ва­тель­но, длина AH равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы AB, то есть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

Так как тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, ее сто­ро­ны AB и CD равны, углы при ос­но­ва­нии тра­пе­ции BAD и CDA равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABH и DCH₁ равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет то, что тогда

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 243.